Mathématiques

Question

Bonjour je n’arrive pas à faire cet exercice j’aurais besoin d’aide merci !!
Bonjour je n’arrive pas à faire cet exercice j’aurais besoin d’aide merci !!

1 Réponse

  • f(x)=1/2(x²-2x+1)e^(-2x)

    1) lim(x²-2x+1,-∞)=lim(x²,-∞)=+∞
    lim(e^(-2x),-∞)=+∞ donc par produit : lim(f(x),-∞)=+∞

    2) f(x)=1/2x²e^(-2x)-xe^(-2x)+1/2e^(-2x)
    or lim(x^n.e^(-x),+∞)=0 donc par somme : lim(f(x),+∞)=0
    donc l'axe des abscisses est asymptote à Cf au voisinage de +∞

    3) f'(x)=(x-1)e^(-2x)-(x²-2x+1)e^(-2x)
             =e^(-2x)(-x²+3x-2)
    f'(x)=0 implique -x²+3x-2=0 soit x=1 ou x=2
    f'(x)>0 implique -x²+3x-2>0 soit 1<x<2
    donc f est décroissante sur ]-∞;1] et sur [2;+∞[
    f est croissante sur [1;2]

    4) F(x)=1/2(ax²+bx+c)e^(-2x)
    F'(x)=1/2((2ax+b)e^(-2x)-2(ax²+bx+c)e^(-2x))
           =1/2e^(-2x)(-2ax²+(2a-2b)x+b-2c)
    F'(x)=f(x) donc -2a=1 ; 2a-2b=-2 ; b-2c=1
    donc a=-1/2 ; b=1/2 ; c=-1/4
    donc F(x)=1/2(-1/2x²+1/2x-1/4)e^(-2x)

    5) I=F(5)-F(0)=1/2(-25/2+5/2-1/4)e^(-10)-1/2