Bonjour je suis en première S et j’aurais besoin d’aide pour la résolution de cet exercice qui me pose problème : Soit f et g les fonctions définies sur ]0 ;
Mathématiques
mb55
Question
Bonjour je suis en première S et j’aurais besoin d’aide pour la résolution de cet exercice qui me pose problème :
Soit f et g les fonctions définies sur ]0 ; +∞ [ par f(x) =4 √x et g(x) = 1,6x + 2,4.
Soit d la fonction définie sur ]0 ; + ∞[par d(x) = g(x) – f(x)
1). Démontrer que pour tout x >0 , d’(x) = 1,6√x -2 / √x
2) soit (h) = 1,6 √x – 2
A. démontrer que h est croissante sur ]0 ;∞[
B . Démontrer que h s’annule et un réel a et démontrer la valeur de ce réel
a.
C . en déduire le signe de la fonction h sur ]0 ;+∞[
3) Déterminer alors le signe de la fonction d’ puis les variations de la fonction d.
Les résumer dans un tableau.
4) A. vérifier que d (1) = 0 et d (2.25) = 0
B. En déduire la position relative des courbes représentatives des fonctions f
et g.
5) Montrer comment trouver les valeurs 1 et 2.25 qui annulent d.
Merci d’avance pour votre aide. Bonne journée
Soit f et g les fonctions définies sur ]0 ; +∞ [ par f(x) =4 √x et g(x) = 1,6x + 2,4.
Soit d la fonction définie sur ]0 ; + ∞[par d(x) = g(x) – f(x)
1). Démontrer que pour tout x >0 , d’(x) = 1,6√x -2 / √x
2) soit (h) = 1,6 √x – 2
A. démontrer que h est croissante sur ]0 ;∞[
B . Démontrer que h s’annule et un réel a et démontrer la valeur de ce réel
a.
C . en déduire le signe de la fonction h sur ]0 ;+∞[
3) Déterminer alors le signe de la fonction d’ puis les variations de la fonction d.
Les résumer dans un tableau.
4) A. vérifier que d (1) = 0 et d (2.25) = 0
B. En déduire la position relative des courbes représentatives des fonctions f
et g.
5) Montrer comment trouver les valeurs 1 et 2.25 qui annulent d.
Merci d’avance pour votre aide. Bonne journée
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1) d(x) = g(x) - f(x) = 1,6x + 2,4 - 4√x
⇒ d'(x) = 1,6 - 4/2√x = 1,6 - 2/√x = [1,6√x - 2]/√x
2) h(x) = 1,6√x - 2
a) h'(x) = 1,6/2√x = 0,8/√x
⇒ h'(x) > 0 sur Dh' = ]0;+∞[
⇒ h est croissante sur Dh = [0;+∞[
b) h est croissante sur [0;∞[, h(0) = -2
et lim h(x) quand x → +∞ = lim 1,6√x = lim √x = +∞
⇒ il existe une unique valeur α ∈ [0;+∞[ telle que h(α) = 0
1,6√α - 2 = 0 ⇔ √α = 2/1,6 = 1,25 ⇒ α = 1,25²= 1,5625
c) on en déduit :
x 0 α +∞
h(x) - 0 +
3) d'(x) = h(x)/√x
⇒ d'(x) a le même signe que h(x) sur ]0;+∞[ car √x > 0 sur cet intervalle
x 0 α +∞
h(x) - 0 +
d'(x) || - 0 +
d(x) 2,4 décrois. croissante (+∞)
d(α) = 1,6x1,5625 + 2,4 - 4x1,25 = -0,1
4)a) d(1) = 1,6x1 + 2,4 - 4x1 = 0
d(2,25) = 1,6x2,25 + 2,4 - 4x1,5 = 0
b) D'après le 3) et le 4)a) :
Sur [0;1], d(x) ≥ 0 ⇒ g(x) ≥ f(x) ⇒ Cg au-dessus de Cf
Sur [1;2,25], d(x) ≤ 0 ⇒ ... Cg en-dessous de Cf
Sur [2,25;+∞[, d(x) ≥ 0 ⇒ Cg au-dessus de Cf
5) d(x) = 0
⇔ g(x) = f(x)
⇔ 1,6x + 2,4 = 4√x
On pose X = √x soit x = X² sur [0;+∞[
L'équation devient : 1,6X² - 4X + 2,4 = 0
⇔ 2X² - 5X + 3 = 0
⇔ 2(X - 1)(X - 3/2) = 0
⇒ X = 1 ou X = 3/2
⇒ x = 1 ou x = 1,5² = 2,25