Bonsoir je suis bloqué sur un exercice, si quelqu’un pourrait m’aider... Merci d’avance. Pour arroser ses plantations, un jardinier utilise l’eau d’une citerne

Bonsoir,

Pour arroser ses plantations, un jardinier utilise l’eau d’une citerne de capacité 1000 litres . Le premier jour, il en consomme la moitié, puis le deuxième jour la moitié de ce qu’il reste, et ainsi de suite...

On pose [tex]\;U_0=1\;000\;[/tex] et on note [tex]\;U_n\;[/tex] le nombre de litres restants dans la cuve après [tex]\;n\;[/tex] jours.

1) Montrer que la suite (Un) correspondante est géométrique ; préciser sa raison.

La quantité d'eau diminue de moitié tous les jours.
Donc chaque jour, la quantité d'eau restante est multiplié par 0,5.
Cette quantité d'eau suit une progression géométrique de raison  [tex]\;q=\dfrac{1}{2}\;[/tex] et un premier terme  [tex]\;U_0=1\;000\;[/tex]

2) Exprimer Un en fonction de n.

[tex]\boxed{U_n=U_0\times q^n}[/tex]

3) A l’aide de la calculatrice ou du tableur, déterminer le plus petit nombre de jours après lesquels il restera moins de 0,1 litre dans la citerne.

On veut: [tex]\;U_n\geq 0,1\;[/tex]

On pose: [tex]U_0\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\geq 0.1[/tex]

[tex]1\;000\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\geq 0.1\\\\\\1\;000\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\geq\dfrac{1}{10}\\\\\\\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\geq\dfrac{1}{10}\times\dfrac{1}{1\;000}\\\\\\\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\geq\dfrac{1}{10\;000}\\\\\\\ln\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\geq\ln\left(\dfrac{1}{10\;000}\right)\\\\\\n\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\geq\ln\left(\dfrac{1}{10\;000}\right)\\\\\\-n\ln(2)\geq\ln\left(10^{-4}\right)\\\\-n\ln(2)\geq-4\ln(10)\\\\n\geq\dfrac{4\ln(10)}{\ln(2)}\\\\\boxed{n\leq 13}[/tex]

Vérification:

[tex]1\;000\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{13}\approx 0,12[/tex]