Bonjour à tous Pour Mercredi prochain j'ai un exercice pour un DM, mais je suis perdu Merci infiniment à tous ceux qui peuvent m'aider

Salut ! :)

1) Le triangle ABC est rectangle en A car tout triangle inscrit dans un cercle est un triangle rectangle.

2) BC est donc un diamètre du cercle, le centre du cercle est donc le milieu de BC, on va le noter O
O ((xB+xC)/2 ; (yB+yC)/2)
O ((-1 + 6)/2 ; (2 + (-2))/2)
O (5/2 ; 0)

Le rayon est donc la distance OB par exemple : 
OB = √((xB-xO)² + (yB-yO)²)
      = √((-1 - 5/2)² + (2-0)²)
      = √((-7/2)² + 2²)
      = √ (49/4 + 4)
      = √ (65/4)
      = (√65) / 2
Le cercle a pour centre O(5/2 ; 0) et de rayon (√65) / 2

3) Il suffit de vérifier si OD = (√65) / 2

OD = √((xD-xO)² + (yD-yO)²)
      = √ ((3 - 5/2)² + (-4 - 0)²
      = √ ((1/2)² + 16)
      = √ (1/4 + 16)
      = √ (1/4 + 64/4)
      = √ (65/4)
      = (√65)/2
Donc D appartient au cercle !

4) E et F ont pour coordonnées E(x ; 0) et F(a ; 0)

Il faut que OE = (√65) / 2

OE = √((xE-xO)² + (yE-yO)²)
Donc OE² = (xE-xO)² + (yE-yO)²
                 = (x - 5/2)² + (0 - 0)²
                 = (x - 5/2)²
De même, on obtiens OF² = (a - 5/2)²

Il suffit de résoudre : 
(x - 5/2)² =((√65)/2)²
(x - 5/2)² - ((√65)/2)² = 0              a² - b² = (a - b)(a + b)
(x - 5/2 - (√65)/2)(x - 5/2 + (√65)/2) = 0

Donc x - 5/2 - (√65)/2 = 0 ou x - 5/2 + (√65)/2 = 0
Donc x = (5+√65)/2 ou x = (5-√65)/2

Donc E ((5+√65)/2 ; 0) et F((5-√65)/2 ; 0)

Tu peux vérifier sur le dessin en calculant une valeur approchée pour les coordonnées de E et F.

Voilà, j'espère que tu as compris. :)

1) quelle est la nature du triangle ABC

AB = √(- 1-2)² + (2 - 4)² = √9 + 3 = √13

AC = √(6 - 2)² + (- 2 - 4)² = √16 + 36 = √52

BC = √(6 + 1)² + (- 2 - 2)² = √49 + 16 = √65

 AB² + AC² = 13 + 52 = 65

BC² = 65   ⇒ le triangle ABC est rectangle en A

 2) déterminer le centre et le rayon du cercle C

 O milieu de BC (6 - 1/2 ; - 2 + 2/2) = (5/2 ; 0)

 le rayon  R = BC/2 = √65/2

 l'équation du cercle est (x - a)² + (y - b)² = R²

 (x - 5/2)² + y² = 65/4

 3) le point D(3 ; - 4) appartient -il à C

   (x - 5/2)² + y² = 65/4 ⇔ (3 - 5/2)² + (- 4)² = 65/4

                                        1/4 + 16 = 65/4
                                          1/4 + 64/4 = 65/4
                                               65/4 = 65/4 ⇒ D ∈ (C)

 le point D appartient au cercle C