bonjour voici mon probleme un terrain de sport a la forme d'un rectangle de longueur L et de largeur l ( en metres ) , avec deux demi cercle aux extrémités. le

Bonjour ;

Le périmètre du terrain est : 2 L + 2 π (l/2) = 2 L + π l ;
donc on a : 2 L + π l = 400 ;
donc : 2 L = 400 - π l ;
donc : L = 200 - π (l/2) .

L'aire de la partie rectangulaire est : L I = (200 - π/2  l ) l = 200 l - π/2 l² .
Soit f la fonction définie sur IR+ , dont l'expression algébrique
est f(l) = - π/2 l² + 200 l .

On a : f ' (l) = - π l + 200 ;
et f ' (l) = 0 si - π l + 200 = 0 ;
donc si : 200 = π l ;
donc si : l = 200/π ;
donc f admet un extremum pour l = 200/π ;
et comme le coefficient de l² dans f(l) est - π < 0 ;
l'extremum en question est un maximum .

Conclusion :
L'aire maximale de la partie rectangulaire est obtenue pour
l = 200/π ≈ 63,66 m ;
et L = 200 - π l = 200 - (π/2)(200/π) = 200 - 100 = 100 m .

L'aire maximale de la partie rectangulaire est : L l = 100 x 63,66 = 6366 m² .