Bonjour, j'ai un peu de mal à résoudre cet exercice :-( c'est sur les suites numériques, pourriez vous m'aidez svp ? ;-)

1) A(n) est l'aire coloriée à l'étape n

A(1)=1/9*1=1/9

A(2)=A(1)+1/9*(1-A(1))=1/9+1/9*8/9=17/81

.... etc

2) A(n+1)=A(n)+1/9*(1-A(n))=8/9*A(n)+1/9

Ainsi, on pourra pas colorier tout le carré car la limite de A(n) ne pourra jamais atteindre 1

3) Soit B(n) la suite correspondant à l'aire non colorée

donc B(n)=1-A(n)

B(1)=8/9 ; B(2)=64/81 ; ... etc

donc la suite (b) est une suite géométrique de 1er terme 8/9 et de raison 8/9

on déduit que pour tout entier n : B(n)=8/9*(8/9)^(n-1)=(8/9)^n

donc A(n)=1-(8/9)^n

4) 0<8/9<1 donc lim((8/9)^n,∞)=0

donc lim(B(n))=0 donc lim(A(n))=1

ainsi, en théorie, il sera possible de colorier tout le carré mais seulement à l'infini !