Bonjour svp pourriez vous m'aider sur ce dm Je suis en seconde Merci d'avance

soit f la fonction définie sur R par : f(x) = (x - 2)² - 9

1) Sous quelle forme est donnée l'expression de la fonction f : forme canonique

Rappeler l'expression générale de cette forme et en donner les valeurs des paramètres dans le cas présent.

f(x) = a(x - α)² + β   dans le cas présent :  α = 2  ; β = - 9   et  a = 1

2) Déterminer la forme développée de f(x)

   f(x) = (x - 2)² - 9 = x² - 4 x + 4 - 9 = x² - 4 x - 5

3) Déterminer la forme factorisée de f(x)

 f(x) = (x - 2)² - 9 = (x - 2 + 3)(x - 2 - 3) = (x + 1)(x - 5)

4) En utilisant la forme la mieux adaptée, répondre aux questions suivantes :

 a) le point A(1/2 ; - 3/2) est - il un point de Cf   Justifier par un calcul

f(x) = (x + 1)(x - 5)  forme factorisée la mieux adaptée

- 3/2 = (1/2 + 1)(1/2 - 5) = 3/2 * (- 9)/2 = - 27/4

 ⇒ A(1/2 ; - 3/2) ∉ Cf

 b) Déterminer les valeurs d'annulation de f

 f(x) = 0 = (x + 1)(x - 5) ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 ou x - 5 = 0 ⇒ x = 5

c) Dresser le tableau de signe de f

 x        - ∞              - 1                5               + ∞

 x + 1           -           0        +              +

x - 5            -                     -        0      + 

 f(x)            +           0       -         0      +

 d) calculer les images de 2 et √2

 f(x) = x² - 4 x - 5

 f(2) = 2² - 4*2 - 5 = 4 - 8 - 5 = 4 - 13 = - 9

 f(√2) = (√2)² - 4√2 - 5 = 4 - 4√2 - 5 = - 1 - 4√2 = - (1 + 4√2)

 e) Quelles sont les antécédents de - 5 

f(x) = - 5 =  x² - 4 x - 5  ⇔ x² - 4 x = 0 ⇔ x(x - 4) = 0 ⇒ x = 0  ou x - 4 = 0 

 ⇒ x = 4

 f) Résoudre l'équation f(x) = - 9

 f(x) = (x - 2)² - 9 = - 9 ⇔ (x - 2)² = 0 ⇒ x - 2 = 0 ⇒ x = 2

 g) Dresser le tableau de variation de la fonction f

 f(x) = x² - 4 x - 5

 f '(x) = 2 x - 4 ⇒ f ' (x) = 0 = 2(x - 2) = 0 ⇒ x = 2

 f(2) = - 9

 x    - ∞                    2               + ∞       

 f(x) + ∞ →→→→ - 9→→→→ + ∞
         décroissante    croissante

 h) quelles sont les coordonnées du sommet S de la parabole

 S(2 ; - 9) 

 nous pouvons les déterminer à partir de la forme canonique

 S(α ; β) = (2 ; - 9)

i) Dans un repère orthonormé, quel est l'axe de symétrie de la parabole

 c'est l'axe passant par le sommet S d'abscisse x = 2  et parallèle à l'axe des ordonnées

 EXN°2

 1) soit f(x) = x² - 8 x + 7

 a) Montrer que la forme canonique de la fonction f  est  f(x) = (x - 4)² - 9

 La forme canonique est de la forme f(x) = a(x - α)² + β

 avec   α = - b/2 a  et  β = f(α)

           α =  8/2 =  4   

f(4) = β = 4² - 8 * 4 + 7 = 16 + 7 - 32 = 23 - 32 = - 9

 f(x) = (x - 4)² - 9

 b) en déduire la forme factorisée de f

 f(x) = (x - 4)² - 9 = (x - 4)² - 3²   identité remarquable

                           = (x - 4 + 3)(x - 4 - 3)

                           = (x - 1)(x - 7)

 2)  f(x) = 4 x² - 8 x - 12

a) Déterminer la forme canonique de f

 f(x) = a(x - α)² + β

 α = - b/2 a = 8/8 = 1
 
f(1) = β = 4 - 8 - 12 = - 16

 La forme canonique est f(x) = 4(x - 1)² - 16

 b) factoriser f(x) = 4[(x - 1)² - 2²] = 4(x - 1 + 2)(x - 1 - 2)
                                                     = 4(x +1)(x - 3)