Bonjours, s'il vous plais aidez moi, c'est a rendre pour demain.. Je ne comprends rien au math et je n'ai pas d'exemple type dans mes cours.. L'exercice est en

1) résoudre graphiquement (en justifiant votre réponse) l'équation f (x) = 0

La courbe C de la fonction f,  coupe l'axe des abscisses en x = 0 et x = 3

2) Dresser le tableau de variation de f sur [- 1/2 ; 9/2]

x        - 1/2                    1                       3                      9/2

f (x)    - 6 →→→→→→ 4→→→→→→ 0→→→→→→ 10
                croissante        décroissante      croissante

 3) on admet que (C) est la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [- 1/2 ; 9/2]  par :  f (x) = x³ - 6 x² + 9 x

 a) montrer que la fonction  F définie par  F (x) = 1/4) x⁴ - 2 x³ + 9/2) x² est une primitive de f sur [- 1/2 ; 9/2]

 il suffit de montrer que F '(x) = f (x)

 F '(x) = 4/4) x³ - 6 x² + 18/2) x  =  x³ - 6 x² + 9 x = f (x) 

 ⇒ F (x) est une primitive de f(x) sur l'intervalle [- 1/2 ; 9/2]
                          3
 b) calculer  I = ∫ f (x) dx = F (x) 
                         0
 F(3) - F(0) = [1/4) (3)⁴ - 2(3)³ + 9/2)(3)²] - 0
                
                  = 81/4) - 2 x 27 + 81/2 = 27

  ⇒ I = 27    I représente l'aire de la courbe  C  comprise entre  x = 0 et x = 3

4) Etablir l'équation de la tangente au point d'abscisse x0 = 1

 L'équation de la tangente est donnée par l'expression suivante

 y = f (a) + f '(a)(x - a)    a = 1

 y = f (1) + f '(1)(x - 1)

 f (x) = x³ - 6 x² + 9 x ⇒ f '(x) = 3 x² - 12 x + 9

 f '(1) = 3 - 12 + 9 = 12 - 12 = 0

f (1) = 1 - 6 + 9 = 10 - 6 = 4

L'équation de la tangente est : y = 4   ⇒ tangente horizontale

5) f '(x) = 3 x² - 12 x + 9

 ⇒ f '(x) = 0 =  3 x² - 12 x + 9

 Δ = 144 - 108 = 36 ⇒ √36 = 6

 x1 = 12 + 6)/6 = 18/6 = 3 ⇒ f (3) = 3³ - 6 *3² + 9*3 = 27 - 54 + 27 = 0
  
 x2 = 12 - 6)/6 = 6/6 = 1   ⇒ f (1) = 1 - 6 + 9 = 4

 Signe de f '(x)

x        - 1/2               1                   3                9/2

f '(x)                +       0        -          0       +

 Tableau de variation de f

 x       - 1/2                           1                       3                       9/2

f (x)    - 6.125→→→→→→  4→→→→→→ 0→→→→→→ 10.125

                      croissante         décroissante     croissante