Cher mes amis étudiants, j'ai pas pu résoudre ce problème. S'il vous plaît, vous pouvez m'aider? L'exercice : déterminer un polynôme P (x) de degré 4 tel que :

Bonsoir,

Soit P un polynôme de degré 4 tel que P(x+1)-P(x) = x(x+1)(x+2)
On a P(x) = ax⁴+bx³+cx²+dx+k, avec (a,b,c,d,k)∈ℂ*×ℂ⁴

Alors P(x+1) = a(x+1)⁴+b(x+1)³+c(x+1)²+d(x+1)+k = a(x⁴+4x³+6x²+4x+1)+b(x³+3x²+3x+1)+c(x²+2x+1)+d(x+1)+k = ax⁴+4ax³+6ax²+4ax+a+bx³+3bx²+3bx+b+cx²+2cx+c+dx+d+k = ax⁴+(4a+b)x³+(6a+3b+c)x²+(4a+3b+2c+d)x+(a+b+c+d+k)

Ainsi :
P(x+1)-P(x) = ax⁴+(4a+b)x³+(6a+3b+c)x²+(4a+3b+2c+d)x+(a+b+c+d+k)-ax⁴-bx³-cx²-dx-k = 4ax³+(6a+3b)x²+(4a+3b+2c)x+(a+b+c+d)

On pose l'équation P(x+1)-P(x) = x(x+1)(x+2) d'inconnues a, b, c et d
D'où 4ax³+(6a+3b)x²+(4a+3b+2c)x+(a+b+c+d) = x³+3x²+2x
D'où, par unicité des coefficients, on obtient le système suivant :
[tex]\begin{cases} (E):4a=1\\(F):6a+3b=3\\(G):4a+3b+2c=2\\(H):a+b+c+d=0\end{cases}[/tex]
D'où (E) : 4a = 1 ⇒ a = 1/4
D'où (F) : 6a+3b = 3 ⇒ 6(1/4)+3b = 3 ⇒ (3/2)+3b = 3 ⇒ 3b = 3/2 ⇒ b = 1/2
D'où (G) : 4a+3b+2c = 2 ⇒ 4(1/4)+3(1/2)+2c = 2 ⇒ 1+(3/2)+2c = 2 ⇒ (5/2)+2c = 2 ⇒ 2c = -1/2 ⇒ c = -1/4
D'où (H) : a+b+c+d=0 ⇒ (1/4)+(1/2)-(1/4)+d = 0 ⇒ (1/2)+d = 0 ⇒ d = -1/2

Également, on voit que n'importe quelle valeur de k satisfait la condition sur le polynôme P

Alors par exemple, on pose k = 0, et donc P(x) = (1/4)x⁴+(1/2)x³-(1/4)x²-(1/2)x convient.