Bonjour svp la solution d'enigalité suivant : cosx+sinx+tanx+1/cosx+1/sinx+1/tanx > 6 avec x appartient [0;PI/2[

on pose f(x)=cos(x)+sin(x)+tan(x)+1/cos(x)+1/sin(x)+1/tan(x)

alors f'(x)=-sin(x)+cos(x)+1/cos²(x)+sin(x)/cos²(x)-cos(x)/sin²(x)-1/sin²(x)
=cos(x)-sin(x)+(1/cos²(x)-1/sin²(x))+(sin³(x)-cos³(x))/(cos²(x)sin²(x))
=cos(x)-sin(x)+((sin²(x)-cos²(x))/(cos²(x)sin²(x))+(sin³(x)-cos³(x))/(cos²(x)sin²(x))
=(cos(x)-sin(x))/(cos²(x)sin²(x))*[cos²(x)sin²(x)+sin(x)+cos(x)+1+sin(x)cos(x)]

on pose g(x)=[cos²(x)sin²(x)+sin(x)+cos(x)+1+sin(x)cos(x)]
et h(x)=cos²(x)sin²(x)
donc f'(x)=(cos(x)-sin(x)*g(x)/h(x)

une étude rapide montre que pour tout x réel : g(x)≥0 et h(x)≥0
donc f'(x) est du signe de cos(x)-sin(x)

donc f'(x)=0 donne cos(x)-sin(x)=0 soit cos(x)=sin(x)
donc x=π/4+2kπ où k est entier relatif

f admet donc un minimum en x=π/4 et ce minimum vaut 2+3√2>6

le problème posé en résoudre f(x)>6 donne alors :
S=]2kπ;π/2+2kπ[ pour tout entier relatif k
cela signifie que cette inégalité est toujours vérifiée !