Bonjour, Je suis en terminal S, j'ai besoin d'aide pour l'exercice qui est en pièce jointe. Merci pour ceux qui pourront m'aider.

Bonjour,

Partie A

1) lim quand x → 0 ln(1 - x)/x

en posant X = -x, soit x = -X :

= lim quand X → 0 -ln(1 + X)/X

= lim quand X → 0 -[ln(1 + X) - ln(1)]/X    (car ln(1) = 0)

On retrouve ainsi la forme [f(1) - f(1+h)]h, qui est le taux d'accroissement de la fonction f(x) = ln(x) en x = 1)

Donc, par définition du nombre dérivé :

= -f'(1)

= -1

2) lim quand x → 0⁺ xln(x)

en posant X = 1/x soit x = 1/X :

= lim quand X → +∞ ln(1/X)/X

= ................................ -ln(X)/X    (car ln(1/X) = -ln(X)

= 0 car lim ln(x)/x quand x → +∞ = 0 (théorème croissances comparées)

3) f(0) = 0 et quand x ∈ ]0;1[, lim quand x → 0⁺ f(x) = 0

Donc f est continue en 0

4) Pour x ∈ ]0;1[, f'(x) = 1/x * ln(1 - x) - ln(x) * (-1/(1 - x))

= ln(1 - x)/x + ln(x)/(1 - x)

lim f'(x) quand x → 0⁺

= lim ln(1 - x)/x + lim ln(x)/(1 - x)

= -1 + lim ln(x)/1

= -∞

donc f n'est pas dérivable en 0.

Partie B

En posant t = 1 - x, soit x = 1 - t

f(1 - t) = ln(1 - t) * ln(t)

lim quand x → 1⁻ f'(x)

= lim quand t → 0⁺ f(t)

= -∞ d'après la partie A 4)

Donc f n'est pas dérivable en 1