Bonsoir Je suis un élève de terminale S. J'ai quelques difficultés avec cette exercice de mathématiques. Je souhaiterais de l'aide afin de me guider svp. J'ai d

f(x) = e(3x) --> f '(x) = 3 * e(3x)    toujours positive !

g(x) = -β² e(x) + 2β e(2x)  
                             on ne peut pas utiliser "lambda" donc j' ai pris "beta" !
donc g '(x) = -β² e(x) + 4β e(2x) = β e(x) * [ 4 e(x) - β ]
            g '(x) est positive pour x > Ln(β/4)

pour répondre à ta question c, il faut résoudre f '(x) = g '(x), donc :
3 e(3x) = -β² e(x) + 4β e(2x)
3 e(3x) - 4β e(2x) + β² e(x) = 0
3 e(2x) - 4β e(x)   + β²        = 0
3 X²     - 4β X       + β²        = 0    avec X = e(x)
              ( 3 X - β ) ( X - β ) = 0
donc     X = β/3     OU        X = β
d' où e(x) = β/3     OU     e(x) = β
             x = Ln(β/3)    OU    x = Lnβ

vérifions les coordonnées du point B tel que x = Lnβ :
f(Lnβ) = e(3Lnβ) = [ e(Lnβ)]puissance3 = βpuiss3
g(Lnβ) = -β² * e(Lnβ) + 2β * e(2Lnβ) = -βpuiss3 + 2β * [ e(Lnβ) ]²
                                                          = -βpuiss3 + 2β * β²
                                                          = -βpuiss3 + 2 βpuiss3
                                                          = βpuiss3 = f(Lnβ)
le point B a bien pour coordonnées ( Lnβ ; β³ ) et c'est le point pour lequel les deux Courbes admettent la même tangente !

question d) :

tableau :       x            0               1                     2                  Lnβ
                   f(x)          1               e³                  e∧6                 β³
                   g(x)      2β-β²     -β²e+2β e²    -β²e²+2β e∧4         β³
            



méthode rigoureuse :
Primitive de f(x) - g(x) = F(x) - G(x) = e(3x) /3 + β² e(x) - β e(2x)
d' o�� l' Aire étudiée = β³/3 + β³ - β³ - 1/3 - β² + β = (1/3) (β³-3β²+3β-1)
                                                                            = (1/3) ( β - 1 )³
conclusion : affirmation "d" vraie !

remarque : affirmation "a" fausse !