Bonsoir à tous, je suis en classe de première S et je galère sur un exercice sur les suites voici l'énoncé : On considère la suite (un) définie pour tout entier

soit (Un) une suite définie pour tout entier naturel n par : Un = (n + 1)² - n²

Un = n² + 2 n + 1 - n² = 1 + 2 n  

Un = 1 + 2 n  est de la forme Un = U0 + n r  de premier terme U0 et de raison r

a) calcul les trois premiers termes : U0 ; U1 et U2

U0 = 1

U1 = 1 + 2 x 1 = 3

U2 = 1 + 2 x 2 = 5

b) montrer que la suite Un est arithmétique. On précisera sa raison et son premier terme

 (Un) est une suite arithmétique ssi la suite (Un+1 - Un) est constante

Un+ 1 = 1 + 2(n + 1)

 (Un+1 - Un) = 1 + 2(n + 1) - (1 + 2 n)

                     = 1 + 2 n + 2 - 1 - 2 n

                     = 3 - 1 

                     = 2    ⇒ (Un) est une suite arithmétique

 de premier terme U0 = 1 et de raison r = 2

 c) écrire le terme général de la suite arithmétique (Un), puis calculer U999

le terme général de la suite (Un) peut s'écrire comme suit :

pour tout entier naturels n et p  Un = Up + (n - p) r = Up + 2 (n - p)  

 U999 = U2 + 2(999 - 2) = 5 + 2 x 997 = 1999 

d) calculer la somme S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 1995 + 1997 + 1999

 pour tous entiers naturels n et p tels que p ≤ n

Up + Up+1 + ....+ Un = (Up + Un)(n - p + 1)/2

 (premier terme + dernier terme)(nombre de termes)/2

S = (1 + 1999)(999)/2 = 999000

 2) on considère une suite géométrique de raison q > 0 définie pour tout entier naturel n telle que  V2 = 180 et V4 = 405

 a) calculer la raison q de la suite (Vn), puis son premier terme  V0

Pour tous entiers naturels n et p   n ≤ p

on écrit : Vn = Vp x qⁿ⁻p

 V4 = V2 x q^4 - 2 = 405 = 180 x q² ⇒ q² = 405/180 = 2.25 ⇒ q = 1.5  ou q= - 1.5

 Vn = V0 + 1.5ⁿ

V4 = V0 + 1.5⁴ ⇔ 405 = V0 + 1.5⁴ ⇒ V0 = 405/1.5⁴ = 80

V0 = 80
q = 1.5

b) exprimer Vn en fonction de n : Vn = 80 x 1.5ⁿ

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