dans un repere orthonormé (O,I,J) on considere les quatres points suivants : A(-4;-2) B (4;2) C(2;-4) D(5;-5) 1) Démontrer que les points A,B et C sont alignés

Bonsoir ;

Une remarque : les vecteurs seront notés comme des bipoints .

1)

Tout d'abord , la question est : Montrer que les points A , C et D sont alignés
et non les points A , B et C .

Les coordonnées du vecteur AC sont :
2 - (- 4) = 2 + 4 = 6 et - 4 - (- 2) = - 4 + 2 = - 2 .

Les coordonnées du vecteur AD sont :
5 - (- 4) = 5 + 4 = 9 et - 5 - (- 2) = - 5 + 2 = - 3 .

En multipliant les coordonnées du vecteur AC par 3/2 on a :
3/2 x 6 = 9 et 3/2 x (- 2) = - 3 ;
on remarque qu'on retrouve les coordonnées du vecteur AD ;
donc on a : AD = 3/2 AC ;
donc les vecteurs AD et AC sont colinéaires ;
donc les droites (AD) et (AC) sont parallèles ;
et comme elles ont un point commun : le point A ;
donc elles sont confondues ;
donc les points A , C et D sont alignés .

2)

Les coordonnées du point M qui est le milieu de [OB] sont :
(0 + 4)/2 = 4/2 = 2 et (0 + 2)/2 = 2/2 = 1 .

Les coordonnées du point P qui est le milieu de [BC] sont :
(4 + 2)/2 = 6/2 = 3 et (2 - 4)/2 = (- 2)/2 = - 1 .

3)

Les coordonnées du vecteur MP sont :
3 - 2 = 1 et - 1 - 1 = - 2 .

Les coordonnées du vecteur MD sont :
5 - 2 = 3 et - 5 - 1 = - 6 .

En multipliant les coordonnées du vecteur MP par 3 on a :
3 x 1 = 3 et 3 x (- 2) = - 6 ;

on remarque qu'on retrouve les coordonnées du vecteur MD ;
donc on a : MD = 3 MP ;
donc les vecteurs MD et MP sont colinéaires ;
donc les droites (MD) et (MP) sont parallèles ;
et comme elles ont un point commun : le point M ;
donc elles sont confondues ;
donc les points M , P et D sont alignés .