Bonsoir, j'ai cet exo sur les nombre complexes et je n'y arrives pas .... : EDIT : désolé les symboles et la racine ne s'affiche pas Soit \alpha un nombre compl

Bonsoir,

Soit α∈ℂ
On pose l'équation : z² = α d'inconnue z∈ℂ

a) On suppose que z = x+iy est solution de l'équation, avec (x,y)∈ℝ²
D'où (x+iy)² = α ⇒ x²+2ixy+(iy)² = α ⇒ x²+2ixy+i²y² = α ⇒ x²+2ixy-y² = α ⇒ (x²-y²)+i(2xy) = α
Or deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire sont égales.
Donc par identification des parties réelle et imaginaire, on a :
Re(α) = x²-y²
Im(α) = 2xy
Également, on a donc |α| = √((x²-y²)²+(2xy)²) = √(x⁴-2x²y²+y⁴+4x²y²) = √(x⁴+2x²y²+y⁴) = √((x²+y²)²) = x²+y²

b) On pose α = 2i
Alors on a le système suivant :
[tex]\begin{cases} (E):x^2-y^2=Re(2i)=0\\(F):2xy=Im(2i)=2\\(G):x^2+y^2=|2i|=2 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} (E)+(G):2x^2=2\\(F):2xy=2 \end{cases}[/tex][tex]\Rightarrow\begin{cases} x^2=1\\xy=1 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} x=1\\y=1
\end{cases}\,ou\,\,\,\,\,\begin{cases} x=-1\\y=-1 \end{cases}[/tex]
D'où z² = α ⇒ z = 1+1i ou z = -1-1i ⇒ z = 1+i ou z = -1-i
Donc les racines carrées de 2i sont 1+i et -1-i

c) On pose α = 1-i√3
Alors on a le système suivant :
[tex]\begin{cases} (E):x^2-y^2=Re(1-i\sqrt{3})=1\\(F):2xy=Im(1-i\sqrt{3})=-\sqrt{3}\\(G):x^2+y^2=|1-i\sqrt{3}|=2 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} (E)+(G):2x^2=3\\(F):2xy=-\sqrt{3} \end{cases}[/tex][tex]\Rightarrow\begin{cases} x^2=\frac{3}{2} \\xy=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt{6}}{2} \\y=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}\,ou\,\,\,\,\,\begin{cases} x=-\frac{\sqrt{6}}{2} \\y=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}[/tex]
D'où z² = α ⇒ z² = 1-i√3 ⇒ z = ((√6)/2)-i((√2)/2) ou z = -((√6)/2)+i((√2)/2)
Donc les racines carrées de 1-i√3 sont ((√6)/2)-i((√2)/2) et -((√6)/2)+i((√2)/2)