EXERCICE 1: Soit f la fonction définie sur R par: f(x)= -2x( au carré) +8x-13 1. Déterminer la forme canonique de la fonction f 2. En déduire le maximum de f et

Salut ! :)

D'abord, pense à modifier ton niveau sur ton profil car ta question apparaît dans collège alors que c'est du niveau lycée. :)

Exercice 1 

La forme canonique est de la forme : f(x) = a (x - α)² + β

α = -b / (2a) 
   = -8 / (2×(-2))
   = -8 / -4
   = 2

f(x) = -2 (x - 2)² + β

Pour trouver β, il faut calculer f(α)

f(α) = f(2) = -2 × 2² + 8×2 - 13
                = -2 × 4 + 16 - 13
                = -8 + 3 
                = -5
Donc β = -5

Donc la forme canonique est f(x) = -2 (x - 2)² - 5

Les coordonnées du sommet sont (α ; β). Donc le maximum est atteint pour x = 2, et vaut -5.

Exercice 2 

1) a) 3x² - 5x + k = 0
Il faut que Δ = 0

Δ = b² - 4ac
Δ = 0
b² - 4ac = 0
(-5)² - 4×3×k = 0
25 - 12k = 0
12k = 25
k = 25/12

L'équation 3x² - 5x + 25/12 = 0 admet une unique solution qui est :
-b / 2a = -(-5) / 2×3 = 5/6

b) 5x² - kx + 7 = 0

b² - 4ac = 0
k² - 4×5×7 = 0
k² - 140 = 0
k² = 140
k = √140 ou k = -√140

L'équation 5x² + √140x + 7 = 0 admet une solution qui est : 
-b / 2a = -√140 / 2×5 = -√140 / 10 

L'équation 5x² - √140x + 7 = 0 admet une solution qui est : 
-b / 2a = -(-√140) / 2×5 = √140 / 10

2) 2x² - 3x + k = 0

Il faut que Δ > 0

b² - 4ac > 0
(-3)² - 4×2×k > 0
9 - 8k > 0
9 > 8k
9/8 > k

L'équation 2x² - 3x + k = 0 admet deux solutions distinctes quand k < 9/8

3) 3x² + kx + 27/4 = 0

Il faut que Δ < 0

b² - 4ac < 0
k² - 4×3×27/4 < 0
k² - 81 < 0
k² - 9² < 0
(k - 9)(k + 9) < 0

x             -∞           -9                   9               +∞
k-9                 -                   -         0        +
k+9                -        0         +                  +
(k-9)(k+9)      +        0         -        0         +

Donc il faut que k ∈ ]-9 ; 9[

Voilà, j'espère que tu as tout compris. :)